一、概述
平滑滤波，顾名思义就是对信号进行处理使之整体显得更加平滑，降低噪声影响，提高信号质量，它常见于数学信号处理和图像处理，一般意义上的数字信号多体现于一维数据，图像信号多体现于二维数据。 均值滤波、中值滤波、高斯滤波是三种常见的平滑滤波方法，其中均值滤波和高斯滤波是线性技术，中值滤波是非线性技术。它们实现的基本原理是基本一致的，指定一个滑动窗口，计算其中的均值、中值、卷积值输出到当前位置。 均值滤波、高斯滤波对高斯噪声表现较好，但对椒盐噪声表现较差；中值滤波则对椒盐噪声表现较好，对高斯噪声表现较差。
二、基本原理
均值滤波、中值滤波、高斯滤波的基本原理都是以一个滑动窗口，以指定的计算方式得到其中的值，将它输出到信号的当前位置， 均值滤波计算均值，中值滤波计算中值，高斯滤波计算卷积值。窗口大小L的设定一般为2k+1，每次计算窗口中心位置的值。 该种策略下，在边缘区域窗口输出的位置是无法覆盖到的，因此需要特定的方式进行处理。处理的方式通常有四种：不作处理、只计算窗口包含区域、外周填充0、外周填充邻近元素值或指定值。
1.均值滤波
(1)一维 对于信号(a1,a2,…,an)，定义一个大小为L的窗口，计算窗口中元素的均值
v
m
e
a
n
=
1
L
∑
i
=
1
L
x
i
vmean=\frac{1}{L}\sum_{i=1}^{L}{x_i}
vmean=L1i=1∑Lxi 作为对应窗口
L
+
1
2
\frac{L+1}{2}
2L+1位置处的输出值。 (2)二维 对于一幅灰度图像 KaTeX parse error: No such environment: equation* at position 9: A=\begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲*̲}̲ \begin{bmatrix… 定义一个大小为L*L的窗口，计算窗口中元素的均值
v
m
e
a
n
=
1
L
2
∑
i
=
1
L
∑
j
=
1
L
p
i
j
vmean=\frac{1}{L^{2}}\sum_{i=1}^{L}{\sum_{j=1}^{L}{p_{ij}}}
vmean=L21i=1∑Lj=1∑Lpij 作为对应窗口
(
L
+
1
2
,
L
+
1
2
)
\left( \frac{L+1}{2},\frac{L+1}{2} \right)
(2L+1,2L+1) 位置处的输出值。
2.中值滤波
(1)一维 对于信号(a1,a2,…,an)，定义大小为L的窗口，计算窗口中元素的中值。
升序（降序）排列为(r1,r2,…,rL)，取中间
L
+
1
2
\frac{L+1}{2}
2L+1处的值，作为对应窗口
L
+
1
2
\frac{L+1}{2}
2L+1 位置处的输出值。
(2)二维 对于一幅灰度图像 KaTeX parse error: No such environment: equation* at position 9: A=\begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲*̲}̲ \begin{bmatrix… 定义大小为L*L的窗口，计算窗口中元素的中值。
升序（降序）排列为(r1,r2,…,rL2)，取中间
L
2
+
1
2
\frac{L^2+1}{2}
2L2+1处的值，作为对应窗口
(
L
+
1
2
,
L
+
1
2
)
\left( \frac{L+1}{2}, \frac{L+1}{2}\right)
(2L+1,2L+1)位置处的输出值。
3.高斯滤波
高斯滤波类似于均值滤波和中值滤波，形式上和均值滤波是统一的。均值滤波计算的是元素的均值，也就是均数1/n的加权和。高斯滤波同样定义一个滑动窗口，这个窗口中对应于每个元素定义了一个权重参数，窗口的输出就是数据元素和这些权重参数的加权和，因为这个运算是形式化的卷积运算，因此这个窗口叫做卷积核。 （1）一维 对于信号(a1,a2,…,an)，定义一个大小为L的卷积核
(
w
1
,
w
2
,
.
.
.
,
w
L
)
\left( w_1,w_2,...,w_L \right)
(w1,w2,...,wL) 与数据元素做卷积运算，得到值
v
g
a
u
s
=
∑
i
=
1
L
w
i
⋅
x
i
vgaus=\sum_{i=1}^{L}{w_i\cdot x_i}
vgaus=i=1∑Lwi⋅xi 作为对应窗口
L
+
1
2
\frac{L+1}{2}
2L+1位置处的输出值。 （2）二维 对于一幅灰度图像 KaTeX parse error: No such environment: equation* at position 9: A=\begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲*̲}̲ \begin{bmatrix… 定义一个大小为L*L的卷积核 KaTeX parse error: No such environment: equation* at position 7: \begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲*̲}̲ \begin{bmatrix… 与数据元素做卷积运算，得到值
v
g
a
u
s
=
∑
i
=
1
L
∑
j
=
1
L
w
i
j
⋅
x
i
j
vgaus=\sum_{i=1}^{L}{\sum_{j=1}^{L}{w_{ij}\cdot x_{ij}}}
vgaus=i=1∑Lj=1∑Lwij⋅xij 作为对应窗口
(
L
+
1
2
,
L
+
1
2
)
\left( \frac{L+1}{2}, \frac{L+1}{2}\right)
(2L+1,2L+1)位置处的输出值。
4.边缘处理
滤波窗口处在数据边缘区域时，对于最外周的
L
−
1
2
\frac{L-1}{2}
2L−1宽度的那些元素，窗口输出的位置无法涵盖到它们，因此需要以一定的策略对该区域进行处理。常见的处理策略有以下几种： （1）不作处理 对于边缘区域不作处理，计算时直接略过。 （2）只计算窗口包含区域 照常由窗口的中心点进行覆盖，计算时不计外周缺失的部分，只计算窗口包含的区域。 （3）外周填充0 照常由窗口的中心点进行覆盖，外周缺失的部分填充0。 （4）外周填充邻近元素值或其他指定值 照常由窗口的中心点进行覆盖，外周缺失的部分填充邻近元素值或其他指定的值。
三、示例
1.均值滤波
一维： 有信号段S=[3, 2, 4, 5, 13, 7, 9, 10, 1, 6]，定义长度为3的窗口，进行均值滤波的平滑处理，边缘区域以填充0的方式操作。 首位置窗口的三个元素为[0,3,2]，输出均值
0
+
3
+
2
3
≈
1.67
\frac{0+3+2}{3}\approx1.67
30+3+2≈1.67 ； 窗口滑至下一位置，三个元素为[3,2,4]，输出均值
3
+
2
+
4
3
=
3
\frac{3+2+4}{3}=3
33+2+4=3； 窗口滑至下一位置，三个元素为[2,4,5]，输出均值
2
+
4
+
5
3
≈
3.67
\frac{2+4+5}{3}\approx3.67
32+4+5≈3.67 ； 同样地，窗口依次输出值7.33、8.33、9.67、8.67、6.67、5.67，在最后一个窗口位置，三个元素为[1,6,0]，输出均值2.33。 因此，输出的信号段为O=[1.67, 3, 3.67, 7.33, 8.33, 9.67, 8.67, 6.67, 5.67, 2.33]。
python实现：
import numpy as np
from scipy import signal
S = np.array([3, 2, 4, 5, 13, 7, 9, 10, 1, 6])
slid_wind_L = 3 # 滑动窗口长度
filter_kernal = np.ones(slid_wind_L) / float(slid_wind_L) # 滤波核
Out = signal.convolve(S, filter_kernal,'same') # 滤波计算
Out = np.round(Out,2) # 保留两位小数
print('Out:\n',Out)
二维： 有图像矩阵 KaTeX parse error: No such environment: equation* at position 9: I=\begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲*̲}̲ \begin{bmatrix… 定义长度为3*3的窗口，进行均值滤波的平滑处理，边缘区域以填充0的方式操作。 首位置窗口内容为 KaTeX parse error: No such environment: equation* at position 7: \begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲*̲}̲ \begin{bmatrix…，输出均值
1
9
(
0
+
0
+
0
+
0
+
0
+
4
+
3
+
2
+
5
)
≈
1.56
\frac{1}{9}\left( 0+0+0+0+0+4+3+2+5 \right)\approx1.56
91(0+0+0+0+0+4+3+2+5)≈1.56 ； 窗口滑至下一位置，内容为 KaTeX parse error: No such environment: equation* at position 7: \begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲*̲}̲ \begin{bmatrix…，输出均值2.44； 窗口滑至下一位置，内容为 KaTeX parse error: No such environment: equation* at position 7: \begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲*̲}̲ \begin{bmatrix…，输出均值2.56； 窗口滑至下一位置，内容为 KaTeX parse error: No such environment: equation* at position 7: \begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲*̲}̲ \begin{bmatrix… ，输出均值1.67； 同样地，窗口依次输出值1.78、3.33、4.33、3.44、2.11、4.11、5.11、4.22、1.33、2.56、3.67、3.33。 因此，输出的图像矩阵为 KaTeX parse error: No such environment: equation* at position 9: O=\begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲*̲}̲ \begin{bmatrix…。
python实现：
I = np.array([[4,3,1,6],[2,5,7,1],[2,0,6,10],[7,3,5,9]])
slid_wind_L = 3 # 滑动窗口长度
filter_kernal = np.ones((slid_wind_L,slid_wind_L)) / float(slid_wind_L*slid_wind_L) # 滤波核
Out = signal.convolve2d(I, filter_kernal, mode='same') # 滤波计算
Out = np.round(Out,2) # 保留两位小数
print('Out:\n',Out)
2.中值滤波
一维： 有信号段S=[3, 2, 4, 5, 13, 7, 9, 10, 1, 6]，定义长度为3的窗口，进行中值滤波的平滑处理，边缘区域以填充0的方式操作。 首位置窗口的三个元素为[0,3,2]，输出中值2； 窗口滑至下一位置，三个元素为[3,2,4]，输出中值3； 窗口滑至下一位置，三个元素为[2,4,5]，输出中值4； 同样地，窗口依次输出值5、7、9、9、9、6、1。 因此，输出的信号段为O=[2, 3, 4, 5, 7, 9, 9, 9, 6, 1]。
python实现：
S = np.array([3, 2, 4, 5, 13, 7, 9, 10, 1, 6])
Out = signal.medfilt(S,3) # 滤波计算
Out = np.round(Out,2) # 保留两位小数
print('Out:\n',Out)
二维： 有图像矩阵 KaTeX parse error: No such environment: equation* at position 9: I=\begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲*̲}̲ \begin{bmatrix… 定义长度为3*3的窗口，进行中值滤波的平滑处理，边缘区域以填充0的方式操作。 首位置窗口内容为KaTeX parse error: No such environment: equation* at position 7: \begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲*̲}̲ \begin{bmatrix… ，输出中值0； 窗口滑至下一位置，内容为 KaTeX parse error: No such environment: equation* at position 7: \begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲*̲}̲ \begin{bmatrix… ，输出中值2； 窗口滑至下一位置，内容为 KaTeX parse error: No such environment: equation* at position 7: \begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲*̲}̲ \begin{bmatrix… ，输出中值1； 窗口滑至下一位置，内容为 KaTeX parse error: No such environment: equation* at position 7: \begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲*̲}̲ \begin{bmatrix… ，输出中值0； 同样地，窗口依次输出值2、3、5、1、2、5、5、5、0、2、3、0。 因此，输出的图像矩阵为 KaTeX parse error: No such environment: equation* at position 9: O=\begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲*̲}̲ \begin{bmatrix…。
python实现：
I = np.array([[4,3,1,6],[2,5,7,1],[2,0,6,10],[7,3,5,9]])
Out = signal.medfilt2d(I,[3,3]) # 滤波计算
Out = np.round(Out,2) # 保留两位小数
print('Out:\n',Out)
3.高斯滤波
一维： 有信号段S=[3, 2, 4, 5, 13, 7, 9, 10, 1, 6]，定义长度为3的卷积核[1, 0, 1]，进行高斯滤波的平滑处理，边缘区域以填充0的方式操作。 首位置窗口的三个元素为[0,3,2]，输出卷积值2； 窗口滑至下一位置，三个元素为[3,2,4]，输出卷积值7； 窗口滑至下一位置，三个元素为[2,4,5]，输出卷积值7； 同样地，窗口依次输出值17、12、22、17、10、16、1。 因此，输出的信号段为O=[2, 7, 7, 17, 12, 22, 17, 10, 16, 1]。
python实现：
S = np.array([3, 2, 4, 5, 13, 7, 9, 10, 1, 6])
filter_kernal = np.array([1,0,1]) # 滤波核
filter_kernal = np.flip(filter_kernal) # 旋转180度
Out = signal.convolve(S, filter_kernal,'same') # 滤波计算
Out = np.round(Out,2) # 保留两位小数
print('Out:\n',Out)
二维： 有图像矩阵 KaTeX parse error: No such environment: equation* at position 9: I=\begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲*̲}̲ \begin{bmatrix… 定义长度为3*3的卷积核 KaTeX parse error: No such environment: equation* at position 7: \begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲*̲}̲ \begin{bmatrix…，进行高斯滤波的平滑处理，边缘区域以填充0的方式操作。 首位置窗口内容为 KaTeX parse error: No such environment: equation* at position 7: \begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲*̲}̲ \begin{bmatrix… ，输出卷积值5； 窗口滑至下一位置，内容为 KaTeX parse error: No such environment: equation* at position 7: \begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲*̲}̲ \begin{bmatrix… ，输出卷积值9； 窗口滑至下一位置，内容为 KaTeX parse error: No such environment: equation* at position 7: \begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲*̲}̲ \begin{bmatrix… ，输出卷积值6； 窗口滑至下一位置，内容为 KaTeX parse error: No such environment: equation* at position 7: \begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲*̲}̲ \begin{bmatrix…，输出卷积值7； 同样地，窗口依次输出值3、13、19、7、8、21、18、12、0、8、10、6。 因此，输出的图像矩阵为 KaTeX parse error: No such environment: equation* at position 9: O=\begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲*̲}̲ \begin{bmatrix…。
python实现：
I = np.array([[4,3,1,6],[2,5,7,1],[2,0,6,10],[7,3,5,9]])
filter_kernal = np.array([[1,0,1],[0,0,0],[1,0,1]]) # 滤波核
filter_kernal = np.flip(filter_kernal) # 旋转180度
Out = signal.convolve2d(I,filter_kernal,'same') # 滤波计算
Out = np.round(Out,2) # 保留两位小数
print('Out:\n',Out)
pdf下载： https://download.csdn.net/download/Albert201605/88191979?spm=1001.2014.3001.5503
End.
参考： https://blog.csdn.net/cjsh_123456/article/details/79261271